I sistemi di numerazione. (Cristiano Castellano, 16 Settembre 2003)

Le cifre del nostro sistema di numerazione sono dieci: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Pertanto si parla di sistema di numerazione decimale. I computer, come è noto, sfruttano un sistema di numerazione diverso costituito da sole due cifre (0,1) che viene detto sistema binario. I motivi di una simile scelta per il computer risiedono nel funzionamento dei circuiti interni ad esso. Per quanto riguarda invece il sistema di numerazione decimale, il motivo per cui noi uomini lo utilizziamo risiede molto semplicemente nella nostra anatomia. La necessità di contare è apparsa sin dalle origini ed evidentemente il primo strumento di conteggio sono state le mani che, in una persona normale, sono due e ciascuna costituita da cinque dita! Chiaramente i primi uomini potevano usare dei sassi invece delle mani, ma, se pensiamo alle zone desertiche, non sempre essi erano a disposizione. E’ ovvio quindi, per esempio, che se un contadino voleva contare i suoi armenti (ed aveva a disposizione solo le mani) doveva organizzare il conteggio in gruppi da dieci. Col formarsi nell’uomo di una coscienza matematica, il numero dieci assumeva da subito una sua importanza. Col rafforzarsi sempre più di questa coscienza, assunsero importanza dapprima anche i multipli e i sottomultipli del dieci; in seguito anche i suoi divisori. (E’ opportuno ricordare che i divisori di un numero sono quei numeri interi che dividono il numero considerato senza dare resto; i divisori del dieci sono: 1, 2, 5, 10). Oggi possiamo notare l’uso del dieci, dei suoi multipli, sottomultipli e divisori in diverse cose. Per esempio, il sistema di misurazione internazionale (S.I.) è un sistema di misurazione decimale, cioè basato su multipli e sottomultipli del dieci: per passare dal metro al centimetro bisogna moltiplicare per cento, per passare dal grammo al chilogrammo bisogna dividere per mille. La misura dell’acuità visiva viene effettuata in decimi e tutti sanno che per una persona sana si parla di una vista di dieci decimi. Nelle statistiche, quando si fa il rapporto tra la quantità di elementi con date caratteristiche ed il totale, si riporta tutto al caso in cui il totale è pari a 100 ottenendo la cosiddetta percentuale. Gli otto tagli per l’Euro sono tutti multipli o divisori del dieci. Per le monete abbiamo infatti: 1, 2, 5, 10, 20 e 50 centesimi, 1 Euro e 2 Euro; per le banconote, invece, abbiamo: 5, 10, 20, 50, 100, 200 e 500 Euro. Passando ad ambiti sportivi, gli appassionati di Formula 1 sanno che le frazioni di secondo si chiamano decimi di secondo, centesimi di secondo, millesimi di secondo e così via. Nell’ambito dei giochi Olimpici, una delle discipline più difficili è il decathlon che si compone di dieci specialità dell’atletica leggera: 100 m piani, salto in lungo, getto del peso, salto in alto, 400 m piani, 110 m ostacoli, lancio del disco, salto con l'asta, lancio del giavellotto, e 1500 m (si noti come anche le distanze da percorrere nelle gare di corsa siano multipli del dieci). Per finire, ricordiamoci che particolare importanza hanno per noi gli intervalli di tempo (misurati soprattutto in anni) che sono multipli del dieci: si pensi al decennio, al secolo o al millennio. Per quanto detto all’inizio, anche i popoli antichi hanno avuto grande considerazione per gli insiemi di dieci elementi. Si pensi, ad esempio, ai Dieci Comandamenti che Mosè ricevette da Dio sul monte Sinai. In questo caso il numero dieci è evidentemente una forzatura da parte degli scrittori della Bibbia poiché, come Gesù c’insegna nel Vangelo, due sono le regole che un buon cristiano deve seguire: amare il Signore nostro Dio con tutto il cuore ed amare il prossimo così come noi amiamo la nostra persona. La suddetta forzatura non può che essere derivata da una cultura basata sulla numerazione decimale che tendeva ad organizzare il tutto in gruppi di dieci. Anche i Romani organizzarono sia le attività amministrative sia quelle militari sulla base del numero dieci. Il decurione era, per esempio, il capo di una squadra di dieci soldati romani a cavallo; il decemviro invece era il componente di un collegio formato da dieci magistrati che avevano incarichi di natura religiosa o civile. La stessa decimazione (da cui deriva il verbo decimare), la quale era una pena capitale che consisteva nell’estrarre a sorte i nomi dei colpevoli e di mandare a morte il decimo, sembra sia stata introdotta, per la prima volta, nel sistema penale militare romano. Sul numero dieci si basava anche la famosa decima, il tributo, pari alla decima parte del raccolto o del reddito di altre attività, che veniva pagato, a seconda dei tempi e dei popoli, al feudatario, allo stato o alla chiesa. Ma non tutti i popoli antichi hanno adottato il sistema di numerazione decimale! Tutti sanno che in un minuto ci sono 60 secondi, in un’ora ci sono 60 minuti ed in un giorno ci sono 24 ore. Per tutto quello che abbiamo detto sul numero dieci, risulta spontaneo chiedersi: perché in un’ora non ci sono 100 minuti? Perché in un giorno non ci sono 10 ore? Perché un angolo giro è costituito da 360 gradi e non per esempio da 100 gradi? Per trovare una risposta cerchiamo di analizzare se i numeri 24, 60 e 360 hanno qualcosa in comune. Non è difficile vedere che il massimo comun divisore di questi tre numeri è 12. (E’ opportuno ricordare che il massimo comun divisore di un gruppo di numeri è il più grande numero che divide tutti i numeri considerati senza dare resto). Quanto appena detto suggerisce che alcuni popoli abbiano adottato un sistema di numerazione basato sul numero 12 (si parla di sistema dodicesimale) invece che sul numero 10. E’ interessante notare come nel Vecchio e nel Nuovo Testamento si faccia riferimento al numero 12: infatti 12 erano le tribù di Israele, 12 erano gli Apostoli e 72 (=12×6) erano i discepoli di Gesù, cioè tutti coloro che, pur non facendo parte degli Apostoli, erano in intimità con lui e lo seguivano. Il fatto che gli Ebrei facessero riferimento sia al sistema di numerazione decimale che a quello dodicesimale si giustifica con i molteplici contatti che questo popolo ha avuto con gli stranieri: si ricordi che essi furono schiavi sia degli Egiziani sia dei Babilonesi. L’analisi delle motivazioni che hanno spinto alcuni popoli ad adottare un sistema di numerazione dodicesimale, se partiamo ancora da considerazioni anatomiche, ci porta a formulare la seguente domanda: esistevano forse popoli che avevano sei dita per ciascuna delle due mani? Alcune malformazioni congenite sono tali da dare un simile risultato, ma sono casi rari ed anche i ritrovamenti fossili non sembrano dimostrare l’esistenza di questi particolari popoli. Scartata questa ipotesi, bisogna tener presente che i sassi, quando sono disponibili, sono uno strumento di conteggio più pratico delle mani. Quindi i popoli che, per motivi geografici, avevano a disposizione i sassi hanno trovato più comodo organizzare i conteggi in gruppi da dodici anziché da dieci. La comodità c’è davvero e sta nel fatto che il numero 12 ha un numero di divisori maggiore del numero 10. I divisori del numero 12 sono infatti: 12, 6, 4, 3, 2, 1; mentre i divisori del numero 10, come già detto, sono: 10, 5, 2, 1. L’avere un maggior numero di divisori comporta la possibilità di effettuare delle suddivisioni eque tra un numero diverso di persone. Se io, ad esempio, avessi 10 mele, le potrei distribuire equamente solo tra 10, 5 oppure 2 persone; se invece avessi 12 mele le potrei distribuire equamente tra 12, 6, 4, 3 oppure 2 persone. Tuttavia, per capire più a fondo la comodità di organizzare le cose in gruppi di dodici, è utile leggere la storia seguente. Un giorno il maggiordomo doveva preparare la cena per il suo padrone e decise, fra le altre cose, di preparargli cinque uova sode. Uscì per fare la spesa e comprò una confezione da dieci uova pensando che le cinque uova che rimanevano se le sarebbe mangiate lui. La sera però il padrone invitò la propria ragazza e così a tavola si presentarono in due. Il maggiordomo allora pensò che ora doveva dare quattro uova ciascuno e che lui ne avrebbe mangiate solo due (visto che 2×4=8). Ma prima di servire le uova, si presentò un amico inatteso che, per non sfigurare, fu invitato ad unirsi alla cena. Allora il maggiordomo pensò che ora doveva dare tre uova ciascuno e che (visto che 3×3=9) lui ne avrebbe mangiata una sola. “Accidenti”, il maggiordomo disse fra se, “da cinque uova che avevo preventivato ora me ne mangio una soltanto! Questo padrone è troppo ospitale, forse è meglio che lo cambi!”.Il giorno dopo, parlando con un suo amico di quello che gli era capitato, il maggiordomo apprese che se avesse comprato una dozzina di uova avrebbe mangiato sempre tante uova quante ne mangiavano gli altri. Infatti nel caso in cui a cena erano solo lui e il padrone, entrambi avrebbero mangiato sei uova; nel caso in cui a cena erano in tre (lui, il padrone e la ragazza), tutti e tre avrebbero mangiato quattro uova; nel caso in cui a cena erano in quattro (lui, il padrone, la ragazza e l’amico inatteso), tutti e quattro avrebbero mangiato tre uova. In definitiva, se si hanno 12 elementi, la divisione di essi è comunque sempre equa anche se, a causa di imprevisti, i pretendenti alla divisione passano da 2 a 3 o addirittura a 4. Questo fenomeno si spiega col fatto che 12 è il minimo comune multiplo di 2, 3 e 4. (Il minimo comune multiplo di un insieme di numeri è il più piccolo numero che è divisibile per tutti i numeri dati). Se fosse necessario (la cautela non è mai troppa!) avere la possibilità di effettuare delle suddivisioni eque anche se da 2 pretendenti si passa a 3 oppure a 4 oppure a 5 o addirittura a 6, sarebbe opportuno calcolare il minimo comune multiplo di 2, 3, 4, 5 e 6 e quindi avere a disposizione 60 elementi. Dopo aver capito tutte queste cose, il maggiordomo pensò che le uova si sarebbero dovute vendere in confezioni da dodici e non da dieci e così mise in piedi un’azienda che produceva semplicemente confezioni da dodici uova. Il lavoro all’interno dell’azienda fu organizzato, nell’arco di una giornata, in tre turni da otto ore ciascuno e nessuno fece notare al maggiordomo che, poiché il giorno è costituito da 24 ore, egli poteva organizzare il lavoro in quattro turni da sei ore dando la possibilità di lavorare a più persone. Comunque col tempo egli divenne tanto ricco che si poté permettere un maggiordomo, al quale, dopo aver raccontato tutta la sua vita, disse: “studia con molta attenzione la matematica perché, a volte, i numeri possono cambiare una vita intera”. Il novello maggiordomo seguì il consiglio, ma non divenne mai ricco ed oggi sulla sua tomba vi si può leggere: “Studiare comporta sacrifici, ma non fateli se vi aspettate soddisfazioni economiche. Fateli, invece, se aspirate alla libertà dello spirito!”. Ogni volta che passo nei pressi di questa tomba, penso a quali numeri possano cambiare una vita e fino ad ora la risposta è sempre la stessa: i numeri del SuperEnalotto!